题目内容
9.如图,AB是圆O的直径,C、F为圆O上点,CA是∠BAF的角平分线,CD与圆O切于点C且交AF的延长线于点D,CM⊥AB,垂足为点M,求证:(1)CD⊥AD;
(2)若圆O的半径为1,∠BAC=30°,试求DF•AM的值.
分析 (1)由CA是∠BAF的角平分线推理出OC∥AD,DC是圆O的切线,所以CD⊥OC,则CD⊥AD;
(2)由圆的切割线定理得到DC=CM,求出DF•AM的值.
解答 解:(1)连接OC,则有∠OAC=∠OCA.
又CA是∠BAF的角平分线,∠OAC=∠FAC,所以∠FAC=∠ACO,所以OC∥AD.
因为DC是圆O的切线,所以CD⊥OC,则CD⊥AD.
(2)由题意知△AMC≌△ADC,所以DC=CM,DA=AM.
因为DC是圆O的切线,由切割线定理,得DC2=DF•DA=DF•AM=CM2.
在Rt△ABC中,AC=AB•cos∠BAC=$\sqrt{3}$,
所以CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
于是DF•AM=CM2=$\frac{3}{4}$.
点评 本题主要考查平面几何证明中圆的基本性质的应用,考查切割线定理,属于中档题.
练习册系列答案
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