题目内容
【题目】如图,椭圆的离心率为
,顶点为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是椭圆
上除顶点外的任意点,直线
交
轴于点
,直线
交
于点
.设
的斜率为
,
的斜率为
,试问
是否为定值?并说明理由.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)因为,所以
,又
,所以
,即可求解
的值,得出椭圆的方程;
(2)由题意可知直线的方程为
与椭圆的方程联立方程组,求得
点的坐标,进而得到点
的坐标,在根据直线
的方程与
联立,得到点
的坐标,即可表示
的斜率,得出结论.
试题解析:(1)因为,所以
,
由题意及图可得,
所以
又,所以
,所以
所以
所以椭圆的方程为:
(2)证明:由题意可知,
,
,
因为的斜率为
,所以直线
的方程为
由得
其中,所以
,所以
则直线的方程为
(
)
令,则
,即
直线的方程为
,
由解得
,所以
所以的斜率
所以(定值)
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