Question

【题目】如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形， .

（1）求证：直线直线；

（2）若直线与底面成的角为60°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）要证直线直线，只需证平面，分别证和即可；
（2）过作的平行线，交于点，则平面，建立空间直角坐标系，利用向量求二面角即可.

试题解析：

解：

（1）证明：连接，因为，侧面为菱形，

所以，

又与相互垂直， ，

∴平面，

∴，又，

∴平面，

∵平面，所以直线直线．

（2）由（1）知，平面平面，由作的垂线，垂足为，则平面，

∴，

∴为的中点，

过作的平行线，交于点，则平面，

建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则为平面的一个法向量，

则， ，

设平面的法向量，

， ，

取，

，

二面角的余弦值为．