题目内容

5.已知函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x2-a2x+a,x∈R,a∈R.
(1)若函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)若a=-1,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记F(t)=M(t)-m(t),求函数F(t)在区间[-3,-1]上的最小值.

分析 (1)求出原函数的导函数,得到函数在[0,2]内的极值点,求得极小值为g(1),由$\left\{\begin{array}{l}{f(0)≥0}\\{f(2)≥0}\\{f(1)<0}\end{array}\right.$求解不等式组得到a的取值范围;
(2)把a=-1代入函数解析式,求出函数的导函数,得到函数的单调期间,然后对t的范围分类讨论,求出函数F(t)在区间[-3,-1]上的解析式,利用导数求得函数的最小值$\frac{4}{3}$.

解答 解:(1)由f(x)=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{{{a^2}-1}}{2}$x2-a2x+a,x∈R,a∈R,得
f′(x)=x2+(a2-1)x-a2x,由f′(x)=0,得x=-a2或x=1,
当x∈[0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,
当x∈(1,2]时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
∴在x∈[0,2]上f(x)有极小值,为f(1),
若函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点,则$\left\{\begin{array}{l}{f(0)≥0}\\{f(2)≥0}\\{f(1)<0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{\frac{8}{3}+2({a}^{2}-1)-2{a}^{2}+a≥0}\\{\frac{1}{3}+\frac{{a}^{2}-1}{2}-{a}^{2}+a<0}\end{array}\right.$,解得:$0≤a<1-\frac{\sqrt{6}}{3}$或$a>1+\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴使函数f(x)在区间[0,2]内恰有两个零点的实数a的取值范围是$[0,1-\frac{\sqrt{6}}{3})∪(1+\frac{\sqrt{6}}{3},+∞)$;
(2)当a=-1时,f(x)=$\frac{1}{3}{x}^{3}-x+1$,f′(x)=x2-1,
由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞,-1),(1,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(-1,1)时f′(x)<0,
∴f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.
若t+3≤-1或t≥1,即t≤-4或t≥1时,f(x)在[t,t+3]上为增函数,M(t)=f(t+3)=$\frac{1}{3}(t+3)^{3}-(t+3)+1$,
m(t)=f(t)=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$,F(t)=M(t)-m(t)=3t2+9t+6;
若$\left\{\begin{array}{l}{t<-1}\\{-1<t+3≤1}\end{array}\right.$,即-4<t≤-2时,M(t)=f(-1)=$\frac{5}{3}$,
m(t)=min{f(t),f(t+3)}=f(t)=$\frac{1}{3}{t}^{3}-t+1$,
F(t)=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}{t}^{3}+t-1=-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$;
若$\left\{\begin{array}{l}{t+3>1}\\{-1≤t<1}\end{array}\right.$,即-1≤t<1时,m(t)=f(1)=$\frac{1}{3}$,
M(t)=max{f(t),f(t+3)}=f(t+3)=$\frac{1}{3}(t+3)^{3}-(t+3)+1$,
F(t)=$\frac{1}{3}(t+3)^{3}-(t+3)+1$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}{t}^{3}+3{t}^{2}+8t+\frac{20}{3}$;
若$\left\{\begin{array}{l}{t≤-1}\\{t+3≥1}\end{array}\right.$,即-2≤t≤-1时,M(t)=f(-1)=$\frac{5}{3}$,
m(t)=f(1)=$\frac{1}{3}$,F(t)=$\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$.
∴$F(t)=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3},-3≤t≤-2}\\{\frac{4}{3},-2≤t≤-1}\end{array}\right.$.
F′(t)=-t2+1在x∈[-3,-2]上小于0,
F(t)=$-\frac{1}{3}{t}^{3}+t+\frac{2}{3}$在[-3,-2]上为减函数,
$F(t)_{min}=\frac{4}{3}$,$F(t)_{max}=\frac{20}{3}$.
∴函数F(t)在区间[-3,-1]上的最小值为$\frac{4}{3}$.

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,正确的分类是解答该题的关键,属难度较大的题目.

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