Question

15．为迎接2016年到来，某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”，制作此礼品的次品率P与日产量x（件）满足P=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{20-x}}&{（0＜x≤c）}\\{\frac{4}{5}}&{（x＞c）}\end{array}\right.$（c为常数，且c∈N^*，c＜20），且每制作一件正品盈利4元，每出现一件次品亏损1元．
（Ⅰ）将日盈利额y（元）表示为日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）为使日盈利额最大，日制作量应为多少件？（注：次品率=$\frac{次品数}{产品总数}$×100%）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过y=（4-5P）x，分类讨论即得结论；
（Ⅱ）利用（I）可知要使日盈利额最大，则0＜x≤c，通过求导可知y′=0得x=15，分0＜c＜15、15≤c＜20两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，y=4（x-Px）-Px=（4-5P）x，
当0＜x≤c时，y=（4-$\frac{5}{20-x}$）x=$\frac{75-4x}{20-x}$x，
当x＞c时，y=（4-5•$\frac{4}{5}$）x=0，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4{x}^{2}+75x}{20-x}，}&{0＜x≤c}\\{0，}&{x＞c}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（I）可知要使日盈利额最大，则0＜x≤c，
此时令y′=$\frac{4（x-15）（x-25）}{（20-x）^{2}}$=0，
解得：x=15或x=25（舍），
∴当0＜c＜15时，y′＞0，
此时y在区间（0，c]上单调递增，
∴y_max=f（c）=$\frac{-4{c}^{2}+75c}{20-c}$，此时x=c；
当15≤c＜20时，y在区间（0，15）上单调递增、在区间（15，20）上单调递减，
∴y_max=f（15）=45；
综上所述，若0＜c＜15，则当日制作量为c件时，日盈利额最大；
若15≤c＜20，则当日制作量为15件时，日盈利额最大．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．