Question

5．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且?x∈R，有f（-x）+f（x）=2sin²x，则以下大小关系一定不正确的是（　　）

• A． $f（{-\frac{π}{6}}）＜f（{-\frac{2π}{3}}）$
• B． $f（{\frac{π}{4}}）＜f（π）$
• C． $f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{2π}{3}}）$
• D． $f（{-\frac{π}{4}}）＜f（{-π}）$

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-sin²x，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-sin²x，
∵f（-x）+f（x）=2sin²x，
∴g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-2sin²x=2sin²x-2sin²x=0，
即g（-x）=-g（x），
∴函数g（x）为奇函数．
∵在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，
∴在（0，+∞）上g′（x）=f′（x）-sin2x′（x）＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，
即g（$\frac{π}{4}$）＞g（π）；
即f（$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$＞f（π）-0；
即有f（$\frac{π}{4}$）＞f（π），
所以B不成立，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，构造函数利用导数是解决本题的关键．