Question

10．在△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，则tanC的最大值为（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$
• B． -$\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． -2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意可得3cos（A-B）-5cos（A+B）=0，展开化简可得tanAtanB=$\frac{1}{4}$，再利用基本不等式求得tan（A+B）≥$\frac{4}{3}$，从而求得tanC的最大值．

解答 解：△ABC中，若3cos（A-B）+5cosC=0，即3cos（A-B）+5cos（π-A-B）=3cos（A-B）-5cos（A+B）=0，
即 3cosAcosB+3sinAsinB-5cosAcosB+5sinAsinB=0，
故8sinAsinB=2cosAcosB，tanAtanB=$\frac{1}{4}$，
tanA+tanB≥2$\sqrt{tanAtanB}$=1，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$≥$\frac{1}{\frac{3}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
则tanC=-tan（A+B）≤-$\frac{4}{3}$，当且仅当tanA=tanB时，等号成立，
故选：B．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．