题目内容
2．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红．蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（Ⅰ）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E（X ）．
分析 （Ⅰ）从7个小球中取3的取法为${C}_{7}^{3}$，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求
（Ⅱ）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值．
解答 解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai（i=0，1，2，3）与Bj（j=0，1）相互独立．
（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为P（A1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{18}{35}$=． …（4分）
（Ⅱ）X的所有可能值为：0，10，50，200，
P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{1}{3}=\frac{1}{105}$，
P（X=50）=P（A3B0）=P（A3）P（B0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{2}{3}=\frac{2}{105}$，
P（X=10）=P（A2B1）=P（A2）P（B1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}×\frac{1}{3}=\frac{4}{35}$，
P（X=0）=1-$\frac{1}{105}-\frac{2}{105}-\frac{4}{35}=\frac{6}{7}$． …（11分）
所以X的分布列为
| X | 0 | 10 | 50 | 200 |
| P | $\frac{6}{7}$ | $\frac{4}{35}$ | $\frac{2}{105}$ | $\frac{1}{105}$ |
点评 本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
阅读快车系列答案| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $±\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
| A． | -$\frac{2}{3}$（1-2-9） | B． | $\frac{1}{3}$（1-2-9） | C． | -$\frac{4}{3}$（1+2-9） | D． | （1-2-9） |
如图，在多面体ABCDEF中，BA⊥BE，BA⊥BC，BE⊥BC，AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1，G在线段AB上，且BG=3GA．| ξ | 0 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{3}{25}$ | p1 | p2 | p3 | p4 |
（Ⅱ）求随机变量ξ的数学期望．
| A． | 图象关于点$（{-\frac{π}{3}，0}）$中心对称 | B． | 图象关于$x=-\frac{π}{6}$轴对称 | ||
| C． | 在区间$[{-\frac{5π}{12}，-\frac{π}{6}}]$上单调递增 | D． | 在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上单调递减 |