Question

【题目】对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”． （I） 已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣3a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（II） 设f（x）=2x+m﹣1是定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（III） 设f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3，若f（x）不是定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）f（﹣x）+f（x）=0，则2ax2﹣6a=0得到 有解，

所以f（x）为局部奇函数．…（4分）

（II）由题可知2﹣x+2x+2m﹣2=0有解， ，

设 ， ，所以 ，

所以 ．

（III）若f（x）为局部奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0有解，

得4x﹣m2x+1+m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=0，

令2x+2﹣x=t≥2，

从而F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解．

①F（2）≤0，即 ；

② ，即 ，

综上1﹣ ，

故若f（x）不为局部奇函数时

【解析】（I） 由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f（x）=ax2+2bx﹣3a，可得结论；（II） 若f（x）=2x+m﹣1是定义在[﹣1，2]上的“局部奇函数”，则2﹣x+2x+2m﹣2=0有解，进而可得实数m的取值范围；（III） 若f（x）是定义域R上的“局部奇函数”，则f（﹣x）+f（x）=0有解，求出满足条件的m的取值范围后，再求其补集可得答案．