题目内容
(本小题满分12分)
三棱锥
中,
,
,

(1) 求证:面
面
(2) 求二面角
的余弦值.
三棱锥




(1) 求证:面


(2) 求二面角

(1) 证明:取BC中点O,连接AO,PO,由已知△BAC
为直角三角形,

所以可得OA=OB=OC,又知PA=PB=PC,
则△POA≌△POB≌△POC………………………………2分
∴∠
POA=∠POB=∠POC=90°,∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O
所以PO⊥面BCD,…………………………………………………………………… 4分
面ABC,∴面PBC⊥面ABC………………………5分
(2) 解:过O作OD与BC垂直,交AC于D点,
如图建立坐标系O—xyz
则
,
,
,
,
…………………7分
设面PAB的法向量为n1=(x,y,z),由n1·
=0,n1·
=0,可知n1=(1,-
,1)
同
理可求得面PAC的法
向量为n1=(3,
,1)…………………………………10分
cos(n1, n2)=
=
……………………………………………………12分


所以可得OA=OB=OC,又知PA=PB=PC,
则△POA≌△POB≌△POC………………………………2分
∴∠

所以PO⊥面BCD,…………………………………………………………………… 4分

(2) 解:过O作OD与BC垂直,交AC于D点,
如图建立坐标系O—xyz
|





设面PAB的法向量为n1=(x,y,z),由n1·



同



cos(n1, n2)=


略

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