Question

（本题满分18分）已知：函数 ，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．
（1）求、的值及函数的解析式；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2） ；（3）时满足题设．

（1）由题意得：函数 的对称轴为，要讨论得函数在上的单调性，又函数在区间上有最大值4，最小值1，求出、的值；
（2）不等式在时恒成立，即恒成立，换元求出右边的最小值即可；
（3）关于的方程有三个相异的实数根，令，则  有两个实根，一个根大于0且小于1，另一个根大于1.根据二次函数与二次方程的关系列出满足的条件求解。
解：（1），由题意得：
 得， 或  得（舍去）
，…………4分
，…………5分
（2）不等式，即，……9分
设，，，…………11分
（3），即．
令，则   …………13分
记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，
记，由题可知，
或．…………16分
       时满足题设．…………18分