Question

17．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）中心的直线交椭圆于A，B两点，右焦点F₂（c，O），则三角形ABF₂面积的最大值为bc．

Answer 1

分析 先设点A，B的纵坐标，然后表示出△ABF₂的面积，根据|OF₂|为定值c将问题转化为求y₁的最大值的问题，根据|y₁|的范围可求得最后答案．

解答 解：设面积为S，点A的纵坐标为y₁，由于直线过椭圆中心，故B的纵坐标为-y₁，
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|OF₂||y₁|+$\frac{1}{2}$|OF₂||-y₁|=|OF₂||y₁|，
由于|OF₂|为定值c，三角形的面积只与y₁有关，
又由于|y₁|≤b，
显然，当|y₁|=b时，三角形的面积取到最大值，为bc，此时，直线为y轴，
故答案为：bc．

点评 本题主要考查椭圆的基本性质的应用和三角形面积的最大值问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点也是热点问题，每年必考，一定要好好准备．