题目内容
【题目】已知函数,曲线
在
处的切线经过点
.
(1)证明: ;
(2)若当时,
,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得切线斜率为,再根据切线过点
,解得
导数可得导函数零点,列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性,根据函数单调性可得函数最小值为0,即得结论,(2)先化简不等式为
,分离得
,再利用导数求函数
单调性,利用罗伯特法则求最大值,即得
的取值范围.
试题解析:(1)曲线在
处的切线为
,即
由题意得,解得
所以
从而
因为当时,
,当
时,
.
所以在区间
上是减函数,区间
上是增函数,
从而.
(2)由题意知,当时,
,所以
从而当时,
,
由题意知,即
,其中
设,其中
设,即
,其中
则,其中
(1)当时,因为
时,
,所以
是增函数
从而当时,
,
所以是增函数,从而
.
故当时符合题意.
(2)当时,因为
时,
,
所以在区间
上是减函数
从而当时,
所以在
上是减函数,从而
故当时不符合题意.
(3)当时,因为
时,
,所以
是减函数
从而当时,
所以是减函数,从而
故当时不符合题意
综上的取值范围是
.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在直角坐标坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
:
.以
为极点,
轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线(
)与曲线
的异于极点的交点为
,与曲线
的交点为
,求
.
【答案】(1) 的极坐标方程为
,
的极坐标方程为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线,再根据
将曲线
的
极坐标方程;(2)将
代人曲线
的极坐标方程,再根据
求
.
试题解析:(1)曲线的参数方程
(
为参数)
可化为普通方程,
由,可得曲线
的极坐标方程为
,
曲线的极坐标方程为
.
(2)射线(
)与曲线
的交点
的极径为
,
射线(
)与曲线
的交点
的极径满足
,解得
,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.