题目内容
【题目】设函数y=f(x)在[﹣3,3]上是奇函数,且对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,f(1)=﹣2:
(Ⅰ)求f(2)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)求不等式f(x﹣1)>4的解集.
【答案】解:(Ⅰ)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1得:f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=﹣4.
(Ⅱ)结论:函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减的,证明如下:
任取﹣3≤x1<x2≤3,
则f(x2)﹣f(x1)=f(x1+x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x1)+f(x2﹣x1)﹣f(x1)=f(x2﹣x1),
∵x1<x2,x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)<0,即f(x2)<f(x1),
故函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减.
(Ⅲ)由于f(2)=﹣4,
∴不等式f(x﹣1)>4等价于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),
又∵函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减,
∴ ,解得﹣2≤x<﹣1,
故原不等式的解集为[﹣2,﹣1).
【解析】(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,代入即可解得f(2)的值,(2)函数f(x)在[﹣3,3]上是单调递减的,根据函数的单调性的定义进行设值,着差判断出单调性,(3)由于f(2)=﹣4,不等式f(x﹣1)>4等价于f(x﹣1)>﹣f(2)=f(﹣2),根据函数的单调性得出不等式组,即可解得原不等式的解集.
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