Question

【题目】设函数y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1得：f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=﹣4．

（Ⅱ）结论：函数f（x）在[﹣3，3]上是单调递减的，证明如下：

任取﹣3≤x1＜x2≤3，

则f（x2）﹣f（x1）=f（x1+x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵x1＜x2，x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），

故函数f（x）在[﹣3，3]上是单调递减．

（Ⅲ）由于f（2）=﹣4，

∴不等式f（x﹣1）＞4等价于f（x﹣1）＞﹣f（2）=f（﹣2），

又∵函数f（x）在[﹣3，3]上是单调递减，

∴ ，解得﹣2≤x＜﹣1，

故原不等式的解集为[﹣2，﹣1）．

【解析】（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，代入即可解得f（2）的值，（2）函数f（x）在[﹣3，3]上是单调递减的，根据函数的单调性的定义进行设值，着差判断出单调性，（3）由于f（2）=﹣4，不等式f（x﹣1）＞4等价于f（x﹣1）＞﹣f（2）=f（﹣2），根据函数的单调性得出不等式组，即可解得原不等式的解集.