题目内容
【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1 , y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.
【答案】
(1)解:由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知(x+1)2+(y﹣2)2=2,所以圆心为(﹣1,2),半径为 .
当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则 =
,所以k=2±
,即切线方程为y=(2±
)x.
当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则 =
,所以a=﹣1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0.
综上知,切线方程为y=(2± )x或x+y+1=0或x+y﹣3=0;
(2)解:因为|PO|2+r2=|PC|2,所以x12+y12+2=(x1+1)2+(y1﹣2)2,即2x1﹣4y1+3=0.
要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.
当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,
此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(﹣ ,
).
【解析】(1)将圆的一般方程转化为标准方程,得到圆心坐标和半径,分切线过原点和不过原点进行设直线方程,再通过圆心到切线方程的距离等于半径即可得出切线方程,(2)在直角三角形PMC中,根据勾股定理可得|PM|2+|CM|2=|PC|2,由|PM|=|PO|,|CM|=r可得|PO|2+r2=|PC|2,由两点间距离公式经化简可得2x1﹣4y1+3=0,要使|PM|最小,只要|PO|最小即可,当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,可得出P点坐标.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目