Question

10．已知α、β、γ组成公差为$\frac{π}{3}$的等差数列，求tanα•tanβ+tanβtanγ+tanγtanα的值．

Answer 1

分析 由题意，不妨设α=β-$\frac{π}{3}$、γ=β+$\frac{π}{3}$，代入计算，即可求tanα•tanβ+tanβtanγ+tanγtanα的值．

解答 解：由题意，不妨设α=β-$\frac{π}{3}$、γ=β+$\frac{π}{3}$，则
tanα•tanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tan（β-$\frac{π}{3}$）•tanβ+tanβtan（β+$\frac{π}{3}$）+tan（β+$\frac{π}{3}$）tan（β-$\frac{π}{3}$）
=$\frac{tanβ-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanβ}$•tanβ+tanβ•$\frac{tanβ+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanβ}$+$\frac{tanβ+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanβ}$•$\frac{tanβ-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanβ}$=-3

点评 本题考查求tanα•tanβ+tanβtanγ+tanγtanα的值，考查学生的计算能力，正确运算是关键．