题目内容
1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，定点P（$\sqrt{2}$，1），直线OP交椭圆C于点Q（其中O为坐标原点），且|$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{b}{a}$|$\overrightarrow{OP}$|．（1）求椭圆C的方程；
（2）设A（2，0），过点（-1，0）的直线l交椭圆C于M、N两点，△AMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MAN恒成立，求λ的最小值．
分析 （1）由题意知a2=2b2，直线OP的方程为y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$x，与$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立可解得|x|=b，从而求椭圆C的方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）；分直线l垂直于x轴时与直线l不垂直于x轴时讨论，从而可得$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$≤$\frac{17}{2}$；从而化恒成立问题为最值问题求解即可．
解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a2=2b2，
由题意知，直线OP的方程为y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$x，
与$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立解得，
|x|=b，
又∵|$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{b}{a}$|$\overrightarrow{OP}$|，
∴$\frac{|OQ|}{|OP|}$=$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{b}{\sqrt{2}}$=$\frac{b}{a}$，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）；
当直线l垂直于x轴时，x1=x2=-1，y1=-y2，${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
故$\overrightarrow{QM}$=（x1-2，y1）=（-3，y1），$\overrightarrow{QN}$=（-3，-y1），
故$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=9-${{y}_{1}}^{2}$=$\frac{17}{2}$，
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k（x+1），
与$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1联立消y可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
故x1+x2=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
故$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）x1x2+（k2-2）（x1+x2）+k2+4
=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（1+2{k}^{2}）}$＜$\frac{17}{2}$；
综上所述，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$的最大值为$\frac{17}{2}$．
∵不等式S≤λtan∠MAN恒成立，
即$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{QM}$|•|$\overrightarrow{QN}$|sin∠MAN≤λtan∠MAN恒成立，
又∵$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=$\frac{17}{2}$-$\frac{13}{2（1+2{k}^{2}）}$＞0，
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$≤2λ恒成立，
故λ的最小值为$\frac{17}{4}$．
点评 本题考查了圆锥曲线的方程的求法与应用，同时考查了平面向量的数量积的应用及恒成立问题，同时考查了学生的化简运算能力，属于难题．
名校课堂系列答案| A． | π | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | 2π | D． | $\frac{π}{4}$ |
| A． | $\frac{81π}{2}$ | B． | 41π | C． | 32$\sqrt{2}$π | D． | 32π |