Question

14．已知两个不共线的向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$满足|$\overrightarrow{α}$|=3，|$\overrightarrow{α}$+$\overrightarrow{β}$|=2|$\overrightarrow{α}$-$\overrightarrow{β}$|，设$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$的夹角为θ，则cosθ的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 对$|\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}|=2|\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}|$两边平方，根据已知条件即可得到$cosθ=\frac{1}{10}（\frac{9}{|\overrightarrow{β}|}+|\overrightarrow{β}|）$，根据基本不等式即可求出cosθ的最小值．

解答 解：$|\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}|=2|\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}|$得，$（\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}）^{2}=4（\overrightarrow{α}-\overrightarrow{β}）^{2}$；
又$|\overrightarrow{α}|=3$，$\overrightarrow{α}，\overrightarrow{β}$的夹角为θ；
∴$9+6|\overrightarrow{β}|cosθ+|\overrightarrow{β}{|}^{2}=36-24|\overrightarrow{β}|cosθ$$+4|\overrightarrow{β}{|}^{2}$；
∴$cosθ=\frac{1}{10}（\frac{9}{|\overrightarrow{β}|}+|\overrightarrow{β}|）$$≥\frac{3}{5}$，当且仅当$\frac{9}{|\overrightarrow{β}|}=|\overrightarrow{β}|$，即|$\overrightarrow{β}$|=3时取“=”；
∴cosθ的最小值为$\frac{3}{5}$．
故选：A．

点评 考查数量积的运算，及数量积的计算公式，知道${\overrightarrow{β}}^{2}=|\overrightarrow{β}{|}^{2}$，以及基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}，a＞0，b＞0$，的运用．