Question

4．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式t²+3t＞f（x）在x∈R上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件根据绝对值的意义求得不等式f（x）≤5的解集．
（2）由题意可得则t²+3t＞f_min（x）=4，由此求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到-3、1对应点的距离之和，
而-3.5、1.5对应点到-3、1对应点的距离之和正好等于5，
故不等式f（x）≤5的解集为{x|-3.5≤x≤1.5}．
（2）若不等式t²+3t＞f（x）在x∈R上有解，则t²+3t＞f_min（x）=4，
解得t＜-4，或t＞1，故实数t的取值范围为{t|t＜-4，或t＞1}．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．