题目内容
【题目】已知函数f(x)=xlnx,g(x)= +x﹣a(a∈R). (Ⅰ)若直线x=m(m>0)与曲线y=f(x)和y=g(x)分别交于M,N两点.设曲线y=f(x)在点M处的切线为l1 , y=g(x)在点N处的切线为l2 .
(ⅰ)当m=e时,若l1⊥l2 , 求a的值;
(ⅱ)若l1∥l2 , 求a的最大值;
(Ⅱ)设函数h(x)=f(x)﹣g(x)在其定义域内恰有两个不同的极值点x1 , x2 , 且x1<x2 . 若λ>0,且λlnx2﹣λ>1﹣lnx1恒成立,求λ的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)(i)∵函数f(x)=xlnx,∴f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)=1+lnx, ∵g(x)= +x﹣a(a∈R),∴g′(x)=ax+1,
当m=e时,f′(e)=1+lne=2,g′(e)=ae+1,
∵l1⊥l2 , ∴f′(e)g′(e)=2(ae+1)=﹣1,
解得a=﹣ .
(ii)∵函数f(x)=xlnx,∴f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)=1+lnx,
∵g(x)= +x﹣a(a∈R),∴g′(x)=ax+1,
∴f′(m)=1+lnm,g′(m)=am+1,
∵l1∥l2 , ∴f′(m)=g′(m)在(0,+∞)上有解,
∴lnm=am在(0,+∞)上有解,
∵m>0,∴a= ,
令F(x)= (x>0),则
=0,解得x=e,
当x∈(0,e)时,F′(x)>0,F(x)为增函数,
当x∈(e,+∞)时,F′(x)<0,F(x)为减函数,
∴F(x)max=F(e)= ,
∴a的最大值为 .
(Ⅱ)h(x)=xlnx﹣ ﹣x+a,(x>0),h′(x)=lnx﹣ax,
∵x1 , x2为h(x)在其定义域内的两个不同的极值点,
∴x1 , x2是方程lnx﹣ax=0的两个根,即lnx1=ax1 , lnx2=ax2 ,
两式作差,并整理,得:a= ,
∵λ>0,0<x1<x2 ,
由λlnx2﹣λ>1﹣lnx1 , 得1+λ<lnx1+λlnx2 ,
则1+λ<a(x1+λx2),∴a> ,∴
>
,
∴ln <
,
令t= ,则t∈(0,1),由题意知:
lnt< 在t∈(0,1)上恒成立,
令φ(t)=lnt﹣ ,则φ′(t)=
=
,
①当λ2≥1时,即λ≥1时,t∈(0,1),φ′(t)>0,
∴φ(t)在(0,1)上单调递增,
又φ(1)=0,则φ(t)<0在(0,1)上恒成立.
②当λ2<1,即0<λ<1时,t∈(0,λ2)时,φ′(t)>0,φ(t)在(0,λ2)上是增函数;
当t∈(λ2 , 1)时,φ′(t)<0,φ(t)在(λ2 , 1)上是减函数.
又φ(1)=0,∴φ(t)不恒小于0,不合题意.
综上,λ的取值范围是[1,+∞).
【解析】(Ⅰ)(i)f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)=1+lnx,g′(x)=ax+1,当m=e时,f′(e)=1+lne=2,g′(e)=ae+1,由l1⊥l2 , 利用导数的几何意义得f′(e)g′(e)=2(ae+1)=﹣1,由此能求出a. (ii)f′(m)=1+lnm,g′(m)=am+1,由l1∥l2 , 得lnm=am在(0,+∞)上有解,从而a= ,令F(x)=
(x>0),由
=0,得x=e,利用导数性质求出F(x)max=F(e)=
,由此能求出a的最大值.(Ⅱ)h(x)=xlnx﹣
﹣x+a,(x>0),h′(x)=lnx﹣ax,从而x1 , x2是方程lnx﹣ax=0的两个根,进而a=
,推导出
>
,从而ln
<
,令t=
,则t∈(0,1),从而lnt<
在t∈(0,1)上恒成立,令φ(t)=lnt﹣
,则φ′(t)=
=
,由此根据λ2≥1和λ2<1分类讨论,利用导数性质能求出λ的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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