题目内容
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,AC=2BC=2CD=4,∠ACB=∠ACD=60°.
(1)证明:CP⊥BD;
(2)若AP=PC=2 ,求二面角A﹣BP﹣C的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵BC=CD,即△BCD为等腰三角形,
又AC平分∠BCD,故AC⊥BD,
∵平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,
∴BD⊥平面PAC,
∵CP平面PAC,∴CP⊥BD
(2)解:如图,记BD交AC于点E,作PO⊥AC于点O,
则PO⊥底面ABCD,
∵AP=PC=2 ,AC=4,∴∠APC=90°,PO=2,
则EC=CDcos60°=1,ED=CDsin60°= ,
以O为坐标原点,平行于DB的直线为x轴,OC所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,﹣2,0),B( ,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),
∴ , .
设平面PAB的一个法向量为 ,则 ,取z=1,则 ;
设平面PBC的一个法向量为 ,则 ,取z=1,则 .
∴cos< >= = = .
∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为 .
【解析】(1)推导出AC⊥BD,由平面PAC⊥底面ABCD,得BD⊥平面PAC,由此能证明CP⊥BD;(2)作PO⊥AC于点O,则PO⊥底面ABCD,以O为坐标原点,平行于DB的直线为x轴,OC所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,求得平面PAB与平面PBC的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BP﹣C的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点,需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题.
【题目】几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题,然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等. 为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表:
年龄 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(2)若对年龄在[15,20)[20,25)的被调查人中随机选取两人进行调查,记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望. 参考数据:
P(K2≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.