题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,直线PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(I)求证:直线DE⊥平面PAC.
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.又∵AB⊥AD,故可建立建立如图所示坐标系.由已知D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),(λ>0), =(2,﹣1,0),
=(2,4,0),
=(0,0,λ),
=4﹣4+0=0,
=0.
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∴ED⊥平面PAC.
(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一个法向量是 ,
=(2,1,λ).
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
∴sinθ=|cos |=
=
,
解得λ=±2,∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).
设平面PCD的一个法向量为 =(x,y,z),
=(2,2,0),
=(0,﹣2,﹣2),
∴ ,∴
,取
=(1,﹣1,﹣1).
∴cos =
=
,
显然二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD,可得AB⊥PA.又AB⊥AD,可建立建立如图所示坐标系.利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一个法向量是 ,
=(2,1,λ).设直线PE与平面PAC所成的角为θ,可得sinθ=|cos
|=
,解得λ.设平面PCD的一个法向量为
=(x,y,z),
,可得cos
=
.

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