题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,直线PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(I)求证:直线DE⊥平面PAC.
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA.又∵AB⊥AD,故可建立建立如图所示坐标系.由已知D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),(λ>0), =(2,﹣1,0), =(2,4,0), =(0,0,λ),
=4﹣4+0=0, =0.
∴DE⊥AC,DE⊥AP,
∴ED⊥平面PAC.
(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一个法向量是 =(2,1,λ).
设直线PE与平面PAC所成的角为θ,
∴sinθ=|cos |= =
解得λ=±2,∵λ>0,∴λ=2,即P(0,0,2).
设平面PCD的一个法向量为 =(x,y,z), =(2,2,0), =(0,﹣2,﹣2),
,∴ ,取 =(1,﹣1,﹣1).
∴cos = =
显然二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角,∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD,可得AB⊥PA.又AB⊥AD,可建立建立如图所示坐标系.利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出.(Ⅱ)由(Ⅰ),平面PAC的一个法向量是 =(2,1,λ).设直线PE与平面PAC所成的角为θ,可得sinθ=|cos |= ,解得λ.设平面PCD的一个法向量为 =(x,y,z), ,可得cos =

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网