Question

【题目】若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）= （x＜0），h（x）=2elnx，有下列命题：
①F（x）=f（x）﹣g（x）在 内单调递增；
②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；
③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；
④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2 x﹣e．
其中真命题的个数为（请填所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ ，∴x∈（﹣ ，0），F′（x）=2x+ ＞0，∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x∈（﹣ ，0）内单调递增，故①对；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，
又 ≤kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，
即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k﹣4≤k≤0，同理﹣4≤b≤0，故②对，③错；
④函数f（x）和h（x）的图象在x= 处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，
那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e=k（x﹣ ），即y=kx﹣k +e，
由f（x）≥kx﹣k +e（x∈R），可得x2﹣kx+k ﹣e≥0当x∈R恒成立，
则△≤0，只有k=2 ，此时直线方程为：y=2 x﹣e，
下面证明h（x）≤2 x﹣e，令G（x）=2 x﹣e﹣h（x）=2 x﹣e﹣2elnx，
G′（x）= ，
当x= 时，G′（x）=0，当0＜x＜ 时，G′（x）＜0，当x＞ 时，G′（x）＞0，
则当x= 时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2 x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2 x﹣e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2 x﹣e，故④正确．
所以答案是：①②④．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．