题目内容
【题目】平面直角坐标系xoy中，椭圆C1： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．
【答案】
（1）
解：∵椭圆C1： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，
当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，
∴ 
，解得a=2，b=c= 
，
∴椭圆方程为 
．
（2）
解：设直线AB为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由 
，得x2﹣4kx﹣4m=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4m，
由x2=4y，得 
，
故切线PA，PB的斜率分别为 
，kPB= 
，
再由PA⊥PB，得kPAkPB=﹣1，
∴ 
，
解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，
由 
，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∴|CD|= 
= 
≤3．
当且仅当k= 
时取等号，
∴弦|CD|的最大值为3
【解析】（1）由椭圆的离心率为 ，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB为：y=kx+m，由 ，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由 ，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．
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