题目内容
【题目】在如图三棱锥A-BCD中,BD⊥CD,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD∥平面AEF,AE⊥平面BCD.
(1)求证:平面AEF⊥平面ACD;
(2)若,
为
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)证明,
进而可得
即可证明平面AEF⊥平面ACD
(2) 分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可.
解:(1)证明:因为,
,
所以,因为
,所以
.
又因为,
,
所以,而
,
所以,又
,
所以.
(2)解:设直线与平面
所成交的余弦值为
.
连接,在
中,
,
,
,所以
,且
,
,
又因为,
,
,
所以,
.在
中,
,
,所以
.
如图,以点为坐标原点,分别以
为x,y,z轴建立空间直角坐标系,各点坐标为
,
,
,
,
因为,
为
的中点,所以
为
的中点,即
,
设平面的法向量
,
,
,
由,即
,
整理得,令
,得
,
,则
.
因为,所以
,
故直线与平面
所成交的正弦值为
.
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