题目内容
【题目】设三棱锥的每个顶点都在球
的球面上,
是面积为
的等边三角形,
,
,且平面
平面
.
(1)确定的位置(需要说明理由),并证明:平面
平面
.
(2)与侧面平行的平面
与棱
,
,
分别交于
,
,
,求四面体
的体积的最大值.
【答案】(1)在
上,理由见解析,证明见解析,(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,可证
在线段
上,
且
平面
,从而得到平面
平面
.
(2)设,可证
,利用导数可求体积的最大值.
(1)证明:取的中点
,连接
,取点
为
的三等分点且
,
连接.
因为,所以
.
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
因为平面
,故
.
因为为等腰直角三角形,
为
的中点,故
,
因为,
,
故,故
,同理
,
因为是等边三角形,故
为
的中心,故
,
故为三棱锥
的外接球的球心,
故与
重合即
在线段
上且
.
因为在
上,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(2)由题意得,解得
,
因为为等腰直角三角形,
为
的中点,故
,
而平面平面
,平面
平面
,
平面
,故
平面
,故
为点
到平面
的距离.
在等腰直角三角形中,
即
到平面
的距离
.
设,
到平面
的距离为
.
因为平面平面
,平面
平面
,平面
平面
,
故,同理
,因为
方向相同,故
,
同理,
所以,则
的面积为
.
又,所以
到平面
的距离为
,
所以四面体的体积
.
设,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
为增函数,在
为减函数,
所以,
即四面体的体积的最大值为
.
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