题目内容
【题目】已知函数.
(1)若有两个极值点,求实数
的取值范围;
(2)已知,
,
是
的三个零点,且
.当
时,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)求导得到,设
,得到
,从而得到
的单调性和
,根据
有两个极值点,结合零点存在定理,得到
的范围;(2)当
时,可知
单调递增,不符合题意,当
时,得到
,记
,利用导数求出
的单调性,从而确定
的两根的范围,结合
的范围,得到
的范围,从而得证.
(1),
,
设
时,
,所以
单调递减,即
单调递减;
时,
,所以
单调递增,即
单调递增;
所以,
因为有两个极值点,所以
有两个解,
所以,即
,
又因为和
时,都有
,
所以即为所求..
(2)证明:(ⅰ)当,由(1)可知
,
所以在
上单调递增,
所以至多一个零点,与条件矛盾,
所以.
(ⅱ)当时,由(1)可知:
,
时
单调递增;
时
单调递减.
因为,所以
.
当时,由
可得
,
记,则
、
是
的两根.
,
记,
则.
易知和
时,都有
,又
,
所以在
上单调递增..
又因为,
所以时,
,
即,所以
单调递减;
时,
,
即,
单调递增,
设的两根为
∵∴
∵∴
.
当时,
的两根
、
满足
,
则,证毕.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在如图三棱锥A-BCD中,BD⊥CD,E,F分别为棱BC,CD上的点,且BD∥平面AEF,AE⊥平面BCD.
(1)求证:平面AEF⊥平面ACD;
(2)若,
为
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中
).