题目内容
【题目】如图,在四棱锥 中,
底面
,
是直角梯形,
,
,且
,
是
的中点.
(1)求证:平面 平面
;
(2)若二面角 的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】
(1)解: 平面
平面
,
∴AC又 平面
,
平面
平面
平面
.
(2)解:如图,以C为原点, 为AB中点)、
分别为x 轴、y 轴、Z 轴正向,建立空间直角坐标系,
则 .
设 ,则
,
取 为面
的法向量.
设 为面
的法向量,则
,
即 取
,则
,则
,
依题意, ,则
.
于是 .
设直线 与平面
所成角为
,
则 .
【解析】(1)由题意可先证出AC ⊥ PC ,AC ⊥BC即可得证A C ⊥ 平面 P B C进而得到平面 E A C ⊥ 平面 P B C。(2)根据题意建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标,设出平面 P A C和平面E A C的法向量,由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量,再利用两个平面的夹角的余弦值可算a=1,于是得到面 E A C 的法向量进而可计算出直线与平面夹角的正弦值。
【考点精析】认真审题,首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直),还要掌握用空间向量求直线与平面的夹角(设直线的方向向量为
,平面
的法向量为
,直线与平面所成的角为
,
与
的夹角为
, 则
为
的余角或
的补角的余角.即有:
)的相关知识才是答题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目