题目内容
【题目】如图,四边形 是等腰梯形,
,
,
,在梯形
中,
,且
,
平面
.
(1)求证: 平面
;
(2)若二面角 的大小为
,求
的长.
【答案】
(1)证明:由已知 ,所以
,
又因为 平面
,
平面
,所以
,
又因为 ,所以
平面
.
(2)解:因为 平面
,又由(1)知
,以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
.
设 ,则
,
,
,
,
,
.
设平面 的法向量为
,则
故
令 ,所以
.
又平面 的一个法向量
,所以
,解得
.
所以 的长为
.
【解析】对于(1),要证明线面垂直,根据判定定理,在平面内找到两条相交直线与所证直线垂直即可.
对于(2)涉及到二面角时,如果二面角的平面角不明显时,往往建立合适空间直角坐标系,利用平面的法向量的夹角来体现二面角,从而解决问题.
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