题目内容
【题目】已知函数f（x）=ex+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）两点，且x1＜x2
（1）求a的取值范围；
（2）证明： 
；（f′（x）为f（x）的导函数）
（3）设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记 
，求（t﹣1）（a+ 
）的值．
【答案】
（1）解：∵f（x）=ex+ax，∴f'（x）=ex+a，
若a≥0，则f'（x）＞0，则函数f（x）在R上单调递增，这与题设矛盾．
∴a＜0，
令f′（x）＞0得x＞ln（﹣a），令f′（x）＜0得x＜ln（﹣a），
∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，
∴f（x）有两个零点，
∴fmin（x）=f（ln（﹣a））=﹣a+aln（﹣a），
∴﹣a+aln（﹣a）＜0，解得a＜﹣e．
（2）解：证明：∵x1，x2是f（x）的零点，∴ 
，
两式相减得：a=﹣ 
．
记 
=s，则f′（ 
）=e 
﹣ = 
[2s﹣（es﹣e﹣s）]，
设g（s）=2s﹣（es﹣e﹣s），则g′（s）=2﹣（es+e﹣s）＜0，
∴g（s）是减函数，
∴g（s）＜g（0）=0，
又 ＞0，∴f′（ ）＜0．
∵f′（x）=ex+a是增函数，
∴f′（ 
）＜f′（ ）＜0
（3）解：由 得 
，∴e =﹣a 
，
设P（x0，y0），在等边三角形ABC中，易知 
，y0=f（x0）＜0，
由等边三角形性质知y0=﹣ 
，∴y0+ =0，即 
，
∴﹣a + 
（x1+x2）+ =0，
∵x1＞0，∴ 
，
∴﹣at+ 
（t2+1）+ 
（t2﹣1）=0，即（a+ 
）t2﹣2at+a﹣ =0，
∴[（a+ ）t+ 
]（t﹣1）=0，
∵t＞1，∴（a+ ）t+ =0，
∴ 
，
∴ 
．
【解析】（1）讨论a的符号，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，根据零点个数得出f（x）的极小值为负数，列出不等式解出a；（2）计算f′（ ），根据函数单调性判断f′（ ）的符号，根据f′（x）的单调性得出结论；（3）用x1 ， x2表示出P点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出t和a的关系，再计算（t﹣1）（a+ ）的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减)．
