题目内容
【题目】设等比数列的前
项和为
;数列
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)①试确定的值,使得数列
为等差数列;
②在①结论下,若对每个正整数,在
与
之间插入
个2,得到一个新数列
,设
是数列
的前
项和,试求满足
的所有正整数
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】分析:(1)求出数列的首项和公比,即可求数列的通项公式;(2)①求出数列的前几项,根据等差数列的性质建立方程即可求出
;②讨论
的取值,根据
的关系进行求解即可.
详解:(1)当时,
,
,
则公比,则
(2)①当时,得
时,得
;
时,得
,
则由,得
.
而当时,由
得
.
由,知此时数列
为等差数列.
②由题意知,
则当时,
,不合题意,舍去;
当时,
,所以
成立;
当时,若
,则
,不合题意,舍去;从而
必是数列
中的某一项
,
则:
又
,所以
,
即,所以
因为为奇数,而
为偶数,所以上式无解.
即当时,
综上所述,满足题意的正整数仅有.
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