题目内容

【题目】己知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数,f(0)=0,当x∈(0,1]时,f(x)=log2x,则在区间(8,9)内满足方f(x)程f(x)+2=f( )的实数x为 (
A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】解:∵f(x+1)为奇函数,即f(x+1)=﹣f(﹣x+1),即f(x)=﹣f(2﹣x).

当x∈(1,2)时,2﹣x∈(0,1),∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣log2(2﹣x).

又f(x)为偶函数,即f(x)=f(﹣x),于是f(﹣x)=﹣f(﹣x+2),

即f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4),故 f(x)是以4为周期的函数.

∵f(1)=0,∴当8<x≤9时,0<x﹣8≤1,f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).

由f( )=﹣1,f(x)+2=f( )可化为log2(x﹣8)+2=﹣1,得x=

故选:D.

由f(x+1)为奇函数,可得f(x)=﹣f(2﹣x).由f(x)为偶函数可得f(x)=f(x+4),故 f(x)是以4为周期的函数.当8<x≤9时,求得f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).由log2(x﹣8)+2=﹣1得x的值.

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