Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，点（$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$）在f（x）=x+2的图象上，且S₁=$\frac{1}{2}$，且b_n=2（1-n）a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=$\frac{{b}_{n+2}}{（n+5）{b}_{n+1}}$，求f（n）的最大值及相应的n值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+2，运用等差数列的通项公式可得，S_n=$\frac{1}{2n}$，由a_n=S_n-S_n-1，即可得到数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得f（n）=$\frac{n+1}{（n+2）（n+5）}$=$\frac{1}{（n+1）+\frac{4}{n+1}+5}$，由基本不等式即可得到f（n）的最大值及相应的n值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{n-1}}$+2，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$+2（n-1）=2n，
即为S_n=$\frac{1}{2n}$，则a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n-1）}$
=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n-1）n}$；b_n=2（1-n）a_n=$\frac{1}{n}$；
（Ⅱ）f（n）=$\frac{{b}_{n+2}}{（n+5）{b}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{（n+2）（n+5）}$
=$\frac{1}{（n+1）+\frac{4}{n+1}+5}$，
由（n+1）+$\frac{4}{n+1}$≥2$\sqrt{（n+1）•\frac{4}{n+1}}$=4，
当且仅当n=1时，取得等号．
即有f（n）≤$\frac{1}{4+5}$=$\frac{1}{9}$，
则f（n）的最大值为$\frac{1}{9}$及相应的n=1．

点评 本题考查数列的通项的求法，考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及数列的通项和前n项和的关系，考查运算能力，属于中档题．