题目内容
18．设数列{an}是前n项和Sn=$\frac{1}{2}$an-1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1•a2；
（Ⅱ）求证：数列{an}为等比数列．
分析 （Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a1•a2；
（Ⅱ）根据等比数列的定义即可证明数列{an}为等比数列．
解答 解：（Ⅰ）∵Sn=$\frac{1}{2}$an-1，
∴当n=1时，a1=$\frac{1}{2}$a1-1，得a1=-2，
当n=2时，S2=$\frac{1}{2}$a2-1，
即a1+a2=$\frac{1}{2}$a2-1，
即$\frac{1}{2}$a2=-1-a1=-1-（-2）=1，
则a2=2，
则a1•a2=-2×2=-4．
（Ⅱ）证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}$an-1-（$\frac{1}{2}$an-1-1）=$\frac{1}{2}$an-$\frac{1}{2}$an-1，
即$\frac{1}{2}$an=-$\frac{1}{2}$an-1，
则an=-an-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-1，
即数列{an}为公比q=-1的等比数列．
点评 本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
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| A． | （1，2） | B． | （2，+∞） | C． | $（{1，\root{3}{4}}）$ | D． | $[{\root{3}{4}，2}）$ |
6．定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），对于任意x1，x2∈[0，+∞），$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0（x2≠x1），则（ ）
| A． | f（-1）＜f（-2）＜f（3） | B． | f（3）＜f（-1）＜f（-2） | C． | f（-2）＜f（-1）＜f（3） | D． | f（3）＜f（-2）＜f（-1） |