题目内容
【题目】数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:,求数列{bn}的通项公式;
(3)令(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1) ;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*),n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1.n=1时,a1=S1=2,即可得出;(2)数列{bn}满足:an=,可得n≥2时,an﹣an﹣1=
=2.n=1时,
=a1=2,可得b1;(3)cn=
=
=n3n+n,令数列{n3n}的前n项和为An,利用错位相减法即可得出An.进而得出数列{cn}的前n项和Tn.
(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n(n+1)(n∈N*),
∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n(n+1)﹣n(n﹣1)=2n.
n=1时,a1=S1=2,对于上式也成立.
∴an=2n.
(2)数列{bn}满足:an=+
+
+…+
,∴n≥2时,an﹣an﹣1=
=2.
∴bn=2(3n+1).
n=1时,=a1=2,可得b1=8,对于上式也成立.
∴bn=2(3n+1).
(3)cn==
=n3n+n,
令数列{n3n}的前n项和为An,则An=3+2×32+3×33+…+n3n,
∴3An=32+2×33+…+(n﹣1)3n+n3n+1,
∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n3n+1=﹣n3n+1,
可得An=.
∴数列{cn}的前n项和Tn=+
.
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