题目内容
【题目】已知直线与双曲线相交于两点,为坐标原点.
(1)若,求实数的值;
(2)是否存在实数,使得两点关于对称?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由见解析
【解析】
(1)将直线的方程代入双曲线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算即可求得的值;
(2)假设存在实数,根据直线的斜率关系求得的值,由(1)求得,利用中点坐标公式,即可求得的中点坐标,验证中点是否在直线上.
解:(1)直线与双曲线联立,消去得①,
由,且,
得,且;设,、,,
由,所以,又,,
,
,
即,
,解得.
经检验,满足题目条件,
,求实数的值;
(2)假设存在实数,使、关于对称,则直线与垂直,.
直线的方程为.将代入③得,
中点横坐标为2,纵坐标为.
但中点不在直线上,
即不存在实数,使得、关于直线对称.
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