Question

14．已知a＞0，b＞0，a+$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{2}$+$\frac{8}{b}$=6，若直线y=mx+ab与不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y≥0\\ x-2≤0\end{array}\right.$，表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{-6，-\frac{3}{2}}]$
• B． [-2，0]
• C． $[{-2，-\frac{3}{2}}]$
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a，b的值，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}$≥2，当且仅当a=1取等号．
∵b＞0，∴$\frac{b}{2}$+$\frac{8}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{2}×\frac{8}{b}}$=2$\sqrt{4}$=2×2=4，当且仅当$\frac{b}{2}$=$\frac{8}{b}$，即b=4取等号，
则a+$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{2}$+$\frac{8}{b}$≥2+4=6，
∵a+$\frac{1}{a}$+$\frac{b}{2}$+$\frac{8}{b}$=6，
∴a+$\frac{1}{a}$=2，且$\frac{b}{2}$+$\frac{8}{b}$=4，即a=1，b=4，
则直线y=mx+ab=mx+4过定点（0，4），
作出不等式组对应的平面区域如图：
若直线与平面区域有公共点，
则满足点A在直线y=mx+4上或在直线的上方，
同时B在直线y=mx+4上或在直线的下方，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
则A的坐标都满足不等式y≥mx+4，
B的坐标都满足不等式y≤mx+4，
即$\left\{\begin{array}{l}{4≥2m+4}\\{2≤m+4}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{m≥-2}\end{array}\right.$，
即-2≤m≤0，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划以及基本不等式应用，根据基本不等式求出a，b的值是解决本题的关键．