题目内容

4.已知两个等差数列{an}、{bn},它们的前n项和分别是Sn、Tn,若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$,则$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{51}{40}$.

分析 利用等差中项即得$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$,进而计算即得结论.

解答 解:∵数列{an}、{bn}均为等差数列,
∴S7=$\frac{7({a}_{1}+{a}_{7})}{2}$=7a4,T7=$\frac{7({b}_{1}+{b}_{7})}{2}$=7b4
又∵$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$=$\frac{2{a}_{4}}{2{b}_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$,$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{{a}_{4}}{2{b}_{4}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$,
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$,
∵$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$,
∴$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$=$\frac{2×7+3}{3×7-1}$=$\frac{17}{20}$,
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{17}{20}$=$\frac{51}{40}$,
故答案为:$\frac{51}{40}$.

点评 本题考查等差数列的简单性质,利用等差中项是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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