题目内容

3.如图平面直角坐标系xOy中,椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,A1,A2分别是椭圆的左、右两个顶点,圆A1的半径为2,过点A2作圆A1的切线,切点为P,在x轴的上方交椭圆于点Q.则$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{3}{4}$.

分析 连结A2P,可得△OPA2是边长为a的正三角形,由此算出PA1、PO的方程,联解求出点P的横坐标m=-1.由A2P与圆A1相切得到A2P⊥PA1,从而得到直线A2P的方程,将PA2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s=$\frac{2}{7}$.由$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{{x}_{Q}-{x}_{P}}{{x}_{{A}_{2}}-{x}_{Q}}$,把前面算出的横坐标代入即可求得$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$的值.

解答 解:连结PO、PA1,可得△POA1是边长为2的等边三角形,
∴∠PA1O=∠POA1=60°,可得直线PA1的斜率k1=tan60°=$\sqrt{3}$,
直线PO的斜率k2=tan120°=-$\sqrt{3}$,
因此直线PA1的方程为y=$\sqrt{3}$(x+2),直线PO的方程为y=-$\sqrt{3}$x,
设P(m,n),联解PO、PA1的方程可得m=-1.
∵圆A1与直线PA2相切于P点,
∴PA2⊥PA1,可得∠PA2O=90°-∠PA1O=30°,
直线PA2的斜率k=tan150°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,因此直线PA2的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x-2),
代入椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$,消去y,得$\frac{7}{3}$x2-$\frac{16}{3}$x+$\frac{4}{3}$=0,解之得x=2或x=$\frac{2}{7}$.
∵直线PA2交椭圆于A2(2,0)与Q点,∴设Q(s,t),可得s=$\frac{2}{7}$.
由此可得$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{{x}_{Q}-{x}_{P}}{{x}_{{A}_{2}}-{x}_{Q}}$=$\frac{s-m}{2-s}$=$\frac{\frac{2}{7}+1}{2-\frac{2}{7}}$=$\frac{3}{4}$.
故答案为:$\frac{3}{4}$.

点评 本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题,求线段的比值.着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

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