Question

13．给出下列五个命题：
①函数y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函数，但不是奇函数；
②若lna＜1成立，则a的取值范围是（-∞，e）；
③函数f（x）=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的图象过定点（-1，-1）；
④方程x²+（a-3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
⑤函数f（x）=log_a（6-ax）（a＞0，a≠1）在[0，2]上为减函数，则1＜a＜3．
其中正确的个数（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 化简函数判断奇偶性说明①错误；求解对数不等式说明②错误；由指数函数的性质结合函数图象的平移说明③正确；由方程根的情况列关于a的不等式组求解a的范围说明④正确；利用复合函数的单调性求得a的范围说明⑤正确．

解答 解：①函数y=$\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0（x=±1），既是偶函数，又是奇函数，故①错误；
②若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e），故②错误；
③∵y=a^x的图象恒过（0，1），∴函数f（x）=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的图象过定点（-1，-1），故③正确；
④方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}-4a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，即a＜0，故④正确；
⑤∵a＞0，a≠1，∴内函数t=6-ax为定义域上的减函数，要使函数f（x）=log_a（6-ax）（a＞0，a≠1）在[0，2]上为减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{6-2a＞0}\end{array}\right.$，即1＜a＜3，故⑤正确．
∴正确的命题个数是3个．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，⑤的解答技巧性较高，体现了对复合函数单调性的灵活运用，是中档题．