Question

15．已知函数f（x）=-x²+2bx+c，任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，则实数b的取值范围为b≥0．

Answer 1

分析 若任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，则函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，结合二次函数的图象和性质，可得实数b的取值范围．

解答 解：∵任意的x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，
又∵函数f（x）=-x²+2bx+c的图象是开口朝下，且以直线x=b为对称轴的抛物线，
故b≥0，
故答案为：b≥0

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．