Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点P在底顶上的射影是底面的中心，E为侧棱PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设AB=2$\sqrt{2}$，二面角D-AE-C为直二面角，求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，由三角形中位线定理得OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥E-ACD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，E为侧棱PD的中点，
∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）解：∵AB=2$\sqrt{2}$，底面ABCD是正方形，E为侧棱PD的中点，
二面角D-AE-C为直二面角，顶点P在底顶上的射影是底面的中心，
∴以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（0，0，t），则A（-2，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（4，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（2，1，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，0），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=4x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x+y+\frac{t}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，-t，2），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2a+b+\frac{t}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-$\frac{2}{t}$），
∵二面角D-AE-C为直二面角，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=t-$\frac{4}{t}$=0，解得t=2或t=-2（舍），
∴OP=2，作EF⊥平面ACD，垂足为F，则EF=$\frac{1}{2}OP=1$，
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
∴三棱锥E-ACD的体积V=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×1×4$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．