Question

【题目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).

（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b的值；

（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.

Answer 1

【答案】(1) a=-1，b=2. (2)

【解析】

（1）由已知得.

依题意有a=-1，b=2.

（2）设g(x)=f(x)-(x2+x).则g(x)=ln(ax+b)-x≤0.

当a<0时，g(x)的定义域为(-∞，)

取x0使得ln(a x0+b)= +1，则

故g(x0)=ln(a x0+b)-x0>ln(ax0+b)- .

于是，当a<0时，g(x)≤0不恒成立，即a<0不符合要求.

当a>0时，

注意到，ax+b>0，若<x<，则；

若x>，则.

于是，g(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数.

从而，g(x)在其定义域上有最值g.

由g(x)≤0

设h(a)=a2-a2lna.则=2a-(2alna+a) =a(1-2lna).

当0<a<时，寸，>0；

当a>时，<0.

于是，h(a)在区间(0，)上为增函数，在区间(，+∞)上为减函数.

从而h(a)的最大值为.

故当a=，b=时，ab取最大值.

综上，ab的最大值为.