题目内容
【题目】对于定义在区间D上的函数:若存在闭区间和常数e,使得对任意,都有,且对任意,当时,恒成立,则称函数为区间D上的“平底型”函数.
(1)判断函数和是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)若函数是区间上的“平底型”函数,求m和n的值.
【答案】(1)是平底型函数,不是平底型函数,理由见解析(2)
【解析】
(1)先分段讨论去绝对值符号,再求函数的值域,再结合“平底型”函数的性质判断即可得解;
(2)由函数为“平底型”函数等价于,则可解出的值,然后再将值代入运算即可得解.
解:(1)对于函数,
当时, ,
当时,,
故为“平底型”函数,
对于函数,
当时,,
当时,,
即不存在闭区间,使当时,恒成立,
故不为“平底型”函数;
(2)由“平底型”函数定义可知,存在闭区间和常数e,使得对任意,都有,
即,
所以恒成立,
即恒成立,
即,解得或 ,
①当时,,
当时,,当时,,
即函数为“平底型”函数,
②当时,,
当时,,当时,,
即函数不为“平底型”函数,
综上可得:函数是区间上的“平底型”函数,则.
【题目】在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人,女生400人,为了了解性别对该维度测评结果的影响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果,并作出频数统计表如下:
表一:男生
男生 | 等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 5 |
表二:女生
女生 | 等级 | 优秀 | 合格 | 尚待改进 |
频数 | 15 | 3 |
(1)求,的值;
(2)从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈,记其中抽取的女生人数为,求随机变量的分布列及数学期望;
(3)由表中统计数据填写列联表,并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
优秀 | |||
非优秀 | |||
总计 | 45 |
参考公式:,其中.
参考数据:
0.01 | 0.05 | 0.01 | |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |