题目内容

【题目】对于定义在区间D上的函数:若存在闭区间和常数e,使得对任意,都有,且对任意,当时,恒成立,则称函数为区间D上的平底型函数.

1)判断函数是否为R上的平底型函数?并说明理由;

2)若函数是区间上的平底型函数,求mn的值.

【答案】1是平底型函数,不是平底型函数,理由见解析(2

【解析】

1)先分段讨论去绝对值符号,再求函数的值域,再结合平底型函数的性质判断即可得解;

2)由函数平底型函数等价于,则可解出的值,然后再将值代入运算即可得解.

解:(1)对于函数

时,

时,

平底型函数,

对于函数

时,

时,

即不存在闭区间,使当时,恒成立,

不为平底型函数;

2)由平底型函数定义可知,存在闭区间和常数e,使得对任意,都有

所以恒成立,

恒成立,

,解得

①当时,

时,,当时,

即函数平底型函数,

②当时,

时,,当时,

即函数不为平底型函数,

综上可得:函数是区间上的平底型函数,则.

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