Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b∈N^*），两焦点是F₁、F₂，点P在双曲线上，又|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列，且|PF₂|＜4，求双曲线的方程．

Answer 1

分析 利用双曲线的方程得到a，利用双曲线的定义得到|PF₁|=|PF₂|+4，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，由于|PF₂|＜4，所以方程|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在（0，4）上有解，得到c的范围从而得到b的范围，据b是自然数，求出b的值，即可求双曲线的方程．

解答 解：由题意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比数列可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由双曲线的定义，不妨设|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|=|PF₂|+4，
|PF₂|＜4，得|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在区间（0，4）上有解，即4c²=|PF₂|²+4|PF₂|有解
又|PF₂|＜4，故|PF₂|²+4|PF₂|＜32
所以c²＜8
因此b²＜4，又b∈N^*，
所以b=1
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

点评 本题考查双曲线的定义，等比数列的应用，考查分析问题解决问题的能力，是有难度的综合问题，．