Question

7．已知数列{a_n}满足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（n∈N^*），且32a₈-a₃=0，记S_n是数列{a_n}的前n项和，则$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$的值为（　　）

• A． $\frac{21}{8}$
• B． -9
• C． 9
• D． -$\frac{21}{8}$

Answer 1

分析 由已知得数列{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式能求出公比q=$\frac{1}{2}$，由此利用等比数列的前n项和公式能求出$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$的值．

解答 解：∵数列{a_n}满足a${\;}_{n+1}^{2}$=a_na_n+2（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等比数列，
∵32a₈-a₃=0，∴32${a}_{1}{q}^{7}$=a₁q²，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}}{{a}_{1}-\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}{1-\frac{1}{2}}}$=-$\frac{21}{8}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的前n项和的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．