Question

6．若函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$在区间（-2，+∞）上，对任意的自变量都满足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，则实数a的取值范围是？

Answer 1

分析 先分离常数得到$f（x）=a+\frac{1-2a}{x+2}$，而根据条件及增函数的定义便知f（x）在（-2，+∞）上单调递增，从而便可得到1-2a＜0，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：$f（x）=\frac{ax+1}{x+2}=\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$；
∵（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0；
∴f（x）在（-2，+∞）上为增函数；
∴1-2a＜0；
∴$a＞\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围为$（\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 考查分离常数法的运用，增函数的定义，以及反比例函数的单调性，函数沿x轴，y轴方向上的平移变换．