题目内容
（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
设数列
是等差数列，且公差为
，若数列
中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若
，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列
是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设
是数列的前
项和，若公差
，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使
；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.
设数列
是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若
，求证：该数列是“封闭数列”；（2）试判断数列
是否是“封闭数列”，为什么？（3）设
是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.略
（1）证明：
，----------------------
----------------------1分
对任意的
，有
，---------------------------------------------3分
于是
，令
，则有
-------------------------5分（2）
，---------------------------------------------------------7分
令
，-----------------------------------------9分
所以数列不是封闭数列；---------------------------------------------------10分
（3）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在
使
成立，----------------------------------------------------11分
于是有
为整数，又
是正整数。-------------------------------13分
若
则
，所以
，-----------------------14分
若
，则
，所以，-------------
-----------16分
若
，则
，于是
，所以
，------------------------------------------17分
综上所述，
，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分
，--------------------------------------------1分对任意的
，有，---------------------------------------------3分于是，令，则有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分令
，-----------------------------------------9分所以数列
不是封闭数列；---------------------------------------------------10分（3）解：由
是“封闭数列”，得：对任意，必存在使成立，----------------------------------------------------11分于是有
为整数，又是正整数。-------------------------------13分若
则，所以，-----------------------14分若
，则，所以，------------------------16分若
，则，于是，所以，------------------------------------------17分综上所述，
，显然，该数列是“封闭数列”。---------------- 18分
练习册系列答案
相关题目
的前n项和为
，若对任意的r、s
，都有
.
，数列
的第n项是数列
项
，求
;
.
的两条河流A、B会合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别为2
和0.2
的水量,即从A股流入B股100
中，若
，则称数列
，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
；
，若数列
。
中，
，则前
项的和
( )
边形的内角的度数成等差数列，若公差是
，且最大角是
，则
的递推公式
求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。则
；
成等差数列
，则
分别为 ，由此猜想出
= 。