题目内容
(本小题满分13分)如图所示,四棱锥
中,底面
是边长为2的菱形,
是棱
上的动点.

(Ⅰ)若
是
的中点,求证:
//平面
;
(Ⅱ)若
,求证:
;
(III)在(Ⅱ)的条件下,若
,求四棱锥
的体积.





(Ⅰ)若




(Ⅱ)若


(III)在(Ⅱ)的条件下,若


(1)根据底面
为菱形, 所以
为
的中点.
因为
是
的中点,所以
从而得证。
(2)根据已知的条件得到
平面
,然后结合线面垂直的性质定理得到结论
(3)



因为



(2)根据已知的条件得到


(3)

试题分析:(Ⅰ)证明:连结




因为底面



因为



因为




所以


(Ⅱ)证明:因为底面

所以



因为


因为





所以

(Ⅲ)因为


因为



由(Ⅱ)知


所以




因为四边形是边长为2的菱形,且

所以


所以

点评:解决该试题的关键是利用空间的线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理来证明平行与垂直同时根据等体积法来求解体积。属于中档题。

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