Question

直线l与球O有且只有一个公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆的半径分别为1和.若二面角的平面角为150°,则球O的表面积为

A．

B．

C．

D．

Answer 1

C

试题分析：欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积．
解：设平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B，
连接PA，PB，与球交点为C,D根据题意在四边形OAPB中，∠APB=150°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOB=30°，PA=1，PB=，那么小圆的直径分别是2，和2，那么结合角∠APB=150°，运用余弦定理得到得到为CD=2，而球的半径就是三角形PAB的外接圆的半径，则利用正弦定理可知为球的半径为2，因此球的表面积为，故选C.
点评：本题考查了球的截面圆的性质，以及二面角的平面角的找法，综合性较强，做题时要认真分析，找到联系．